martes, 16 de junio de 2009

UNIDAD DIDACTICA

UNIDAD DIDACTICA : FUNCION LINEAL.

ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE
Ø Revisión de la noción de función lineal como modelo de "variación constante".
Ø Ecuación lineal en una variable. Ecuaciones equivalentes y conjunto solución.
Ø Problemas que se modelizan con ecuaciones lineales con una variable. Problemas con infinitas soluciones y problemas sin solución.
Ø Resolución de ecuaciones que involucren transformaciones algebraicas.
Ø Inecuaciones de primer grado con una variable. Problemas que se modelizan a través de una inecuación lineal.
Ø Representación en la recta numérica de las soluciones de una inecuación lineal con una variable.

OBJETIVOS
Ø Realizar análisis de gráficos que determinan una función lineal.
Ø Identificar los distintos elementos que componen la recta.
Ø Interpretar y construir gráficos.
Ø Analizar y profundizar las características de una función lineal, utilizando estrategias para la resolución de distintos problemas.
Ø Reconocer una inecuación de primer grado.
Ø Representar las soluciones en la recta numérica.
Ø Utilizar las ecuaciones, inecuaciones y sistemas sencillos para resolver problemas, seleccionando los modelos y las estrategias de resolución en función de la situación planteada.

ESTRATEGIAS METODOLOGICAS
Ø Enseñanza individualizada y grupal a través del desarrollo de las actividades propuestas.

ACTIVIDADES PROPUESTAS
Ø Proponer gráficos que representen distintas situaciones contextualizadas: la producción de una fábrica a lo largo de los meses de un año, la variación de una cierta población, etc. Se trata de situaciones no lineales. Se plantean preguntas que apunten a establecer velocidad media de crecimiento para un intervalo, períodos de crecimiento y decrecimiento, períodos de crecimiento mayor, etc.
Ø Se propondrán situaciones en los que los alumnos deban, a partir de la información de un gráfico cartesiano, anticipar valores que no pertenecen al intervalo representado.
Ø La clase se divide en una cantidad par de grupos. (En cada grupo hay 3 ó 4 alumnos.) En una primera etapa, la mitad de los grupos de la clase (grupos A) tratan de poner en ecuación un cierto problema (llamémoslo P1), mientras que la otra mitad (grupos B) hace lo mismo con otro problema (que llamaremos P2).
Cada grupo escribe una o varias ecuaciones que permitan resolverlo.
En una segunda etapa, los grupos A y B intercambian sus enunciados y sus propuestas de ecuaciones. Cada grupo debe pronunciarse sobre la validez de la ecuación propuesta por el otro grupo.
Luego se organiza un momento colectivo de trabajo que se consagra al examen de las diferentes proposiciones de puesta en ecuación. Para cada problema se discute la elección de las incógnitas y la validez de la puesta en ecuación. En este momento, los alumnos deberán explicar cómo controlan la pertinencia de las ecuaciones que propusieron.
El profesor suministra las soluciones para cada una de las propuestas y los alumnos las chequean con la ayuda del enunciado. La idea es justamente que se discuta sobre la puesta en ecuación y no sobre su resolución.
Ø Se dan distintos gráficos de rectas con puntos marcados. Este problema lleva a producir la ecuación de la recta. La estrategia que se pone en juego es calcular el desplazamiento en y cuando se conoce el desplazamiento en x, bajo la idea de que a incrementos iguales en la variable x x, corresponden incrementos iguales en la variable y.
Ø Plantear un problema y distintas ecuaciones que lo puedan modelizar, pidiendo la identificación de cuáles sirven. Incluir por lo menos dos escrituras diferentes de una misma ecuación correcta.
La noción de ecuaciones equivalentes asociada a tener el mismo conjunto solución puede ser trabajada aquí con el apoyo del contexto de un problema. El trabajo debe incluir una discusión sobre cuáles son las transformaciones que permiten obtener una ecuación equivalente a una dada.
Ø Hallar una recta que pase por dos puntos dados.
Ø Hallar una recta conociendo su pendiente y un punto por el que pasa.
Ø Estos problemas deben plantearse como una fuente de reflexión y de elaboración. No se propone que se algoritmice la resolución y que se incluyan problemas cuya solución dependa de la memorización de una fórmula particular.
Ø Inecuaciones. Problema : Para publicar libros en una editorial, se utilizan hojas para los textos que cuestan $5 la resma, y otras para las láminas cuyo costo es de $0.04 por unidad. Se quiere que el costo de papel de cualquier libro que se publique no sea mayor a $4.
a) ¿ Se podrán publicar libros de 300 hojas de texto y 18 de láminas? ¿Y libros con 100 y 100?
b) Proponer 4 ejemplos de libros que puedan ser publicados y dos que no.
c) Si llamamos x a la cantidad de hojas de texto e y a las de láminas, graficar en el plano cartesiano el conjunto de los pares ( x, y) que correspondan a "libros publicables".
En este problema se pone en juego una relación con dos variables ligadas por una desigualdad. En la primera pregunta, se propone un chequeo sobre pares para decidir si son o no solución, luego se pide producir algunas soluciones y finalmente el gráfico del conjunto solución. La escritura de la inecuación correspondiente puede servir para chequear las respuestas o para controlar la representación en el plano cartesiano de las soluciones.

RECURSOS
Ø Tiza, pizarrón, marcador, borrador
Ø Regla, escuadra
Ø Guía de Trabajos Prácticos

TEORIA

Función lineal

Una variable es un símbolo al que se le puede asignar un conjunto de valores.
En general se representan las variables con las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.
Una constante es un símbolo al que se le puede asignar un solo valor.
En general se representan las constantes con las primeras letras del alfabeto: a, b, c.
Llamaremos función lineal a una ecuación del tipo y = mx +b
Obviamente dados tres elementos cualesquiera de esta ecuación se puede hallar el faltante. Determine cómo.
m =
x =
b =
y =
En las siguientes gráficas, se muestran todas las combinaciones posibles de m y b con valores -1,0 y 1, la segunda por ejemplo, muestra y= -1x +0 es decir y = -x.
Saque conclusiones sobre :
a- el crecimiento de la función a partir del signo de m.
b- el signo de la raíz a partir de la combinación de valores entre m y b.












En las siguientes gráficas, se muestran distintas funciones lineales con b=1.5, el valor de m se muestra en cada caso. Saque conclusiones sobre la velocidad de crecimiento de acuerdo a valor de m.

Ø Grafique las rectas que siguen, en el sistema de ejes de la página siguiente
y = 2x +2
y = -(1/2) x -2
y = (1/3)x +2
y =-3x -2
y = 2x+3
y = (1/3)x +3


Recuerde que la pendiente está dada por la diferencia de y sobre la diferencia de x. Esto se puede expresar también como "La cantidad de unidades .......................... ................................................................................................"
Halle las expresiones que determinan las siguientes rectas y grafique.
* Una recta de pendiente dos que pasa por el punto tres, cuatro.
* Una función lineal que pasa por el punto P, de coordenadas (18.1;3) y el J de coordenadas (1.2;-3.2)
* Una recta con m igual a -2/5 y término independiente igual a cinco.
* Determine todos los puntos de intersección entre estas tres rectas.
Responda las siguientes cuestiones y grafique.
* Si y = (3/2 )x + 3x, determine el valor de b.
* Si y = 3 + (1/2 )x, determine el valor de m
* Si t= 2/5 + x + 3, determine el valor de m y b

Las coordenadas de los vértices de una figura cuadrangular en el plano son:
A: (-3;4), B: (6;12), C: (-1/2; -3), y D: (2; -6). Determine el punto dónde se cortan sus diagonales.

Un función lineal tiene raíz en x= 3/4 otra tiene término independiente igual a 2 y la misma raíz que la función anterior. Determine dónde se cortan. Comente.

f(x)= -4/5 x + 6/7 y g(x)= 2/3x +b se cortan en el punto (8;y). Determine las coordenadas de dicha intersección. Comente.

h(x)= 125x + x/2, determine para que valor de x y vale 125/2

En el punto (3;4) se cortan dos rectas. Una de ellas tiene raíz en x igual a -12/5, la otra tiene término independiente en (0;-12/5). Determine la expresión que define ambas rectas.

Tenemos tres puntos: A: (-2; -3/5), B: (4; 7/8), C: (-4; -4/5). ¿Pertenecen o no a la misma recta?. Justifique.

Tenemos tres puntos: A: (-2; -3/5), B: (4; 7/8), C: (a; b). Determine valores de a y de b tal que los tres puntos estén alineados. Comente sobre la/s posible/s solución /es.

INECUACIONES LINEALES


Anteriormente has usado los símbolos “>” (mayor que), “<” (menor que), “≥” (mayor o igual que) y “≤” (menor o igual que) para describir como es la relación entre un número y otro. Por ejemplo: 4 > -1 para señalar que 4 es mayor que -1, -2 <> -1, porque 4 está a la derecha de -1 en la recta numérica.
-2 <> -4, porque 4 está a la derecha de 0 en la recta numérica


Una inecuación lineal es una expresión matemática que describe cómo se relacionan entre sí dos expresiones lineales. Por ejemplo: 3 + 5x ≥ 18; -2(x + 3) < -9. La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinito números reales. Para resolver inecuaciones lineales hacemos uso de las siguientes propiedades: Para todo número real a, b y c, si a <> 0 y a <> 4x
3) 5x – 7 ≤ 2x + 8
4) 3x + 8 ≥ 5x

TRABAJO PRACTICO

Trabajo Practico Funciones Lineales

Ejercicio 1 : Dadas las siguientes expresiones, señalar con una cruz las ecuaciones asociadas a una función lineal de una variable:

a) 10 x + 8 y - 30 = 0
b) 2 x + 3 y - z = x + y
c) 4 (h + 3) - 5 t + 8 (t - h) = 4
d) x2 + y2 = 4
e) = 1
Ejercicio 2 : Representar gráficamente las siguientes ecuaciones lineales:

a) y = - 4 x + 1
b) y = - 5
c) x + y = 0
d) 3 x - 2 y + 1 = 0
e)
f) x = - 3

Ejercicio 3 : Dar la expresión en forma explícita de las rectas graficadas a continuación



Ejercicio 4 : Hallar el valor de k en las siguientes ecuaciones a fin de que cada recta pase por el punto indicado:

a) 4x + 3y - k = 0 A ( 1 , -2 )
b) - k x + - 1 = 0 B ( 3 , 0 )

Ejercicio 5 : Escribir la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

a) (-2 , -1) y (-4 , -3)
b) (3 , 5) y (7 , -2)

Ejercicio 6 : Averiguar si los puntos (0 , 2) , (1 , -1) y (-1 , 5) están alineados.

Ejercicio 7 :

a) Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente 5 y pasa por el punto P (-1 , -2).
b) Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente y pasa por el punto P (-4 , 7).

Ejercicio 8 :

a) Indicar cuáles de las siguientes rectas cortan al eje de las ordenadas en el mismo punto que y = 3 x + 2

b) ¿Cuáles son paralelas a ella?.

y = 3x -
y = 3 ( x + 2 )
y = 7x + 2
y = 4 x + 2
y = 3x + 4

Ejercicio 9 : Expresar el sistema de dos ecuaciones lineales que se puede determinar con la siguiente gráfica, luego indicar la solución del mismo :


Ejercicio 10 : Resuelve las siguientes inecuaciones lineales e inecuaciones compuestas y representa la solución en la recta numérica.

1) 5x + 2 <> -6 y 4x + 5 < 1
5) -4 ≤ 3x + 1 < 5

martes, 9 de junio de 2009

Didaxas

Vinculo con el Centro de Educadores " Prof. Avelino Diaz "