OBSERVACIÓN DE CLASE
20.10 hs
Yo : presento al Prof. suplente Oscar RAMALLO
O : esta clase de poliedros viene después de la de Paz de polígonos.
P : EMPEZAMOS POR EL FINAL
O : En un polígono figura plana, teníamos lados vértices , etc. …ahora en el espacio con los poliedros van a aparecer nuevos elementos, vamos a construir a partir de triángulos, cuadrados, pentágonos, etc.; y vamos a ver si es posible construir poliedros con otros polígonos.
Con estos sorbetes (coloca cobre la mesa gran cantidad de estos) les voy a mostrar como construir polígonos y con estos, poliedros regulares (mientras habla va cortando secciones diagonales en cada sorbete y va insertando unos en otros) . Ahora les voy a pedir que vayan construyendo Uds. triángulos, cuadrados, pentágonos con sets técnica que les acaba de mostrar.
20.15 hs
O : ( con varios triángulos en la mano señala los lados congruentes , aristas, vértices ), ahora los lados de los polígono van a llamarse aristas, a un vértice pueden llegar 3 o más figuras.
C : ¿ figuras o caras ?
O : Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro. Vértice es la intersección de 3 o más aristas. Una conclusión : en un poliedro a cada vértice tiene que llegar al menos 3 caras porque sino seria una figura plana. ( une 3 triángulos en un vértice y muestra ). Estos triángulos son equiláteros, ¿ cuanto miden sus ángulos ?
C, P, J : 60°
O : La suma de los ángulos interiores de las caras que se encuentran en cada vértice debe ser menor que 360°, de manera que la figura se cierre, que no sea plana.
Dado que cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°, en un vértice podrían concurrir tres, cuatro o cinco de ellos. Pues 60° x 3 = 180° menor que 360° es posible, 60° x 4 = 240° es posible, 60° x 5 = 300° es posible, 60° x 6 = 360° no es posible pues no cerraría el poliedro. Al unir 3 triángulos por vértice formo un tetraedro, al unir 4 un octaedro y al unir 5 un icosaedro.
Yo : ¿ por qué se llama tetraedro ?
O : porque está formado por 4 triángulos equiláteros, tiene 3 triángulos por vértice.
20.22 hs
O : Ahora tomemos un cuadrado. ¿ cuanto miden sus ángulos interiores ?
C, P, J : 90°
O : Muy bien, dijimos que por vértice al menos debían concurrir 3 figuras y que la suma de los ángulos interiores de las caras que se encuentran en cada vértice debía ser menor que 360°, de manera que la figura se cierre, que no sea plana, por lo tanto por vértice solo pueden concurrir 3 cuadrados pues 90° x 3 = 270° satisface y 90° x 4 = 360° no es posible, por lo tanto podemos formar un hexaedro o como más lo conocen uds. : cubo.
20.25 hs
Los alumnos trabajan con los sorbetes construyendo polígonos, y luego uniéndolos con cinta de carpintero y cinta adhesiva formando los poliedros.
C : Me encanta !!!
J : ( saca fotos )
P : provee sorbetes y cinta adhesivas ya cortadas
C : Que lindo !!! ( construyeron un cubo )
20.28 hs
O : Muy bien, ahora vamos a seguir con pentágonos.
P : ¿ hay solo sorbetes de color fucsia y verde ?
O : Hay también amarillos.
P : ¿ donde los compraste ?
O : En Juncal y Junín
P : ¿ En Once ?
O : No Barrio Norte, por Once busqué bastante, pero ese fue el mejor lugar
20.32 hs
P, J, C : ( los cortan, unen, miden, pegan, y van formando el poliedro )
O : En un pentágono, ¿ cuánto mide el ángulo interior ?
Alumnos : ( hacen cuentas en voz baja ), ¿ 102 ? ( revisamos ). No. ¿ 108 ?. Si
O : Bien, los ángulos interiores del pentágono regular miden 108°. Poniendo tres de ellos en cada vértice se obtiene un dodecaedro. Con los polígonos siguientes ya no es posible formar poliedros regulares: los ángulos interiores de una hexágono miden 120° y no es posible poner tres juntos sin llegar al límite de 360°; los ángulos interiores de los siguientes son aún mayores.
P : Alguien, yo no, usó amarillos. ¿ sigo con los verdes ?, casi no hay más.
O : Sí, acá hay más.
P : Ah bueno sigo con estos …
20.36 hs
C : ( suelta el cubo hacia arriba )
Yo : para pelota es un poco “ punteagudo “
P : No sé si van a alcanzar los verdes
20.39 hs
O : Ahora vamos a ver como podemos armar un poliedro con pentágonos. Así después con varios poliedros vamos a armar una tabla y ver que conclusiones sacamos.
C : una barbaridad, eh ¡!!!
P : ¿ cuántos faltan ?
O : 3. Una vez que toman experiencia cortan todos juntos como ella ( C )
P : Es una experta ( risas )
O : ( va uniendo pentágonos en la mesa, los demás construyen, trabajan )
20.42 hs
O : Para armarlo agarramos un pentágono y lo pegamos por los lados con otros, luego levantamos así, hasta completar.
C : Che, otro verde necesito, son todos verdes y este solo fucsia queda feo
O : Así vamos aprendiendo algo de Estética también.
P : Liuzzi, es profesora de Plástica también !, pero hacen otro verde ( risas )
C : ¡ qué lindo !, me encanta …
P : tomá este, ahora se encinta, no ?
O : sí, si quieren ver más de esto pueden ir al blog ( busca en la laptop )
C : ( arma una base ), mirá mi frutera !, que linda !
P : Ah, mirá ! ( cuando O completa el poliedro con el casquete superior )
O : Acá en el blog del profesorado , eligen el de didáctica de la matemática ( muestra los pasos de la construcción con una secuencia de diapositivas del blog )
20.48 hs
O : Vamos a suponer que tenemos ya construidos los 5 poliedros regulares, porque dijimos que con triángulos se pueden construir 3 : el tetraedro, el octaedro y el icosaedro; con cuadrados 1 : el hexaedro y con pentágonos 1 : el dodecaedro.
(los alumnos siguen construyendo y luego colocan sobre la mesa del frente los trabajos terminados : el tetraedro, el hexaedro y el dodecaedro ).
20.58 hs
O : Vamos a hacer un ejercicio, completar la tabla que voy a dibujar en el pizarrón :
N° de Aristas N° de Vértices N° de Caras
Tetraedro 6 4 4
Hexaedro 12 8 6
Dodecaedro 30 20 12
Octaedro ?? 6 8
En base a esto podemos concluir una propiedad descubierta por Euler que establece :
C + V = A + 2
Con esta propiedad vamos a calcular cuantas aristas tiene el octaedro, que es complicado calcularlas. El número de caras es fácil ya me lo dice el nombre : 8, ahora contemos los vértices. Perfecto con el método Trapani para contar vértices verifica.
A = C + V - 2
A = 8 + 6 - 2
A = 12
martes, 6 de julio de 2010
miércoles, 30 de junio de 2010
UNIDAD DIDACTICA : POLIEDROS
NÚCLEOS SINTÉTICOS DE CONTENIDOS
Poliedros.
Definición. Cóncavos, convexos. Elementos que lo componen.
Formula de Euler.
Poliedros Regulares.
Definición. Clasificación. Desarrollo.
Poliedros en la vida cotidiana.
Prismas. Elementos. Clasificación.
Pirámides. Elementos. Clasificación. Tronco de pirámide
Consideraciones generales
Enseñar Geometría no significa sólo enseñar enunciados de propiedades sino también enseñar la forma en que se puede llegar a ellos. Por esa razón, en este eje, la propuesta de trabajo se centrará en el análisis de propiedades de las figuras y de los cuerpos y en la deducción de las mismas. El docente deberá proponer a los alumnos/as secuencias de actividades en las que ellos tengan la oportunidad de descubrir propiedades geométricas y justificar su validez. Estas justificaciones serán realizadas por el alumno/a a partir de otras ya conocidas que se tomarán como punto de partida. El docente habrá de tener en cuenta, en su planificación, el conjunto de propiedades conocidas por el grupo de alumnos/as con los que desarrollará su actividad.
Los alumnos/as podrán elaborar, al principio, argumentaciones en lenguaje coloquial. A lo largo de todo el año el docente irá propiciando el logro de niveles de argumentación cada vez más claros y formales desde el punto de vista matemático.
A partir de propuestas diseñadas por el docente los alumnos/as formularán conjeturas, elaborarán argumentaciones que las validen y realizarán la puesta en común de lo trabajado. La diversidad de ideas de los diferentes grupos hará más rico el intercambio entre ellos. Si no surgieran en el debate, el docente pondrá en consideración aquellas cuestiones que evalúe importantes para aclarar dudas o proponer caminos alternativos.
A partir de la puesta en común, el docente realizará un cierre teniendo en cuenta lo aportado por los alumnos/as y expresará esas ideas en un lenguaje más específico, con una simbolización adecuada al nivel del grupo, organizando también el registro de la tarea realizada en común en las carpetas.
En este año se retomarán algunas cuestiones estudiadas en 1º año para recordarlas y profundizarlas.
Continuando con el estudio y la clasificación de los cuerpos geométricos, se retomará el estudio de los cuerpos platónicos y se trabajará también con prismas y pirámides.
En 1º año se propuso un trabajo de construcción, manipulación y exploración de los cuerpos. Como ya se dijo, en 2º año se propondrá un trabajo de exploración que vaya dejando de lado la manipulación para ir acercándose al modo de pensar matemático.
Para lograr la formación de representaciones mentales de los conceptos geométricos, los alumnos/as necesitan participar activamente en la observación y análisis haciendo conexiones y transformaciones con los cuerpos y figuras del plano.
Cuando se retome el trabajo sobre los cuerpos regulares se incluirá el análisis de las secciones planas que se obtienen a partir de la unión de puntos de las aristas estratégicamente seleccionados.
Logros de enseñanza
• Proponer actividades en las que los alumnos/as puedan conjeturar propiedades, explorar su validez y validarlas en forma general, brindándoles herramientas para que sus argumentaciones puedan evolucionar hacia un nivel de formalidad cada vez mayor.
• Promover el trabajo autónomo de los alumnos/as permitiendo el desarrollo de mecanismos y criterios de autoevaluación de sus producciones.
• Provocar intercambios grupales interviniendo con preguntas que permitan a los alumnos /as tener en cuenta otras dimensiones involucradas en los problemas que están resolviendo así como la búsqueda de otras relaciones y propiedades.
• Organizar puestas en común de lo trabajado por los alumnos/as que permitan el intercambio entre pares.
• Retomar las expresiones de los alumnos/as para reformularlas utilizando lenguaje matemático y estableciendo lo que se ha de registrar en las carpetas.
• Proponer actividades en las que los alumnos/as deban realizar construcciones geométricas fundamentando el procedimiento que realicen.
• Promover el trabajo autónomo de los alumnos/as permitiendo el desarrollo de mecanismos y criterios de autoevaluación de sus producciones.
• Provocar intercambios grupales interviniendo con preguntas que permitan a los alumnos/as tener en cuenta otras dimensiones involucradas en los problemas que están resolviendo así como la búsqueda de otras relaciones y propiedades.
• Organizar puestas en común de lo trabajado por los alumnos/as que permitan el intercambio entre pares.
• Retomar las expresiones de los alumnos/as para reformularlas utilizando lenguaje matemático y estableciendo lo que se ha de registrar en las carpetas.
• Proponer actividades en las que los alumnos/as deban realizar mediciones, decidiendo la forma de hacerlo y la unidad adecuada a utilizar en el contexto de la situación.
• Proponer actividades de comparación de áreas de figuras con el mismo perímetro o de perímetros de figuras con la misma área así como de comparación de volúmenes de cuerpos con la misma área lateral o de áreas laterales de cuerpos con el mismo volumen.
Orientaciones para la evaluación
Al pensar las actividades de evaluación deberá tenerse en cuenta el tipo de trabajo desarrollado con los alumnos/as en el tratamiento de los contenidos del eje y los niveles de los aprendizajes logrados en el grupo, de modo que el instrumento de evaluación resulte coherente con dicha tarea.
Los desarrollos algebraicos y numéricos para el cálculo de diferentes medidas son importantes y también lo es la consideración de cuestiones como las que se deben tener en cuenta para la resolución de actividades.
Además de la importancia de la intencionalidad con la que se plantean los problemas, será necesario un estudio detallado de lo que el enunciado del problema realmente pide, ya que en una situación de prueba escrita, el alumno/a se encuentra sólo frente a los problemas por resolver.
De esta manera, se lograrán superar situaciones involuntarias de injusticia que se podrían presentar a la hora de corregir.
Poliedros.
Definición. Cóncavos, convexos. Elementos que lo componen.
Formula de Euler.
Poliedros Regulares.
Definición. Clasificación. Desarrollo.
Poliedros en la vida cotidiana.
Prismas. Elementos. Clasificación.
Pirámides. Elementos. Clasificación. Tronco de pirámide
Consideraciones generales
Enseñar Geometría no significa sólo enseñar enunciados de propiedades sino también enseñar la forma en que se puede llegar a ellos. Por esa razón, en este eje, la propuesta de trabajo se centrará en el análisis de propiedades de las figuras y de los cuerpos y en la deducción de las mismas. El docente deberá proponer a los alumnos/as secuencias de actividades en las que ellos tengan la oportunidad de descubrir propiedades geométricas y justificar su validez. Estas justificaciones serán realizadas por el alumno/a a partir de otras ya conocidas que se tomarán como punto de partida. El docente habrá de tener en cuenta, en su planificación, el conjunto de propiedades conocidas por el grupo de alumnos/as con los que desarrollará su actividad.
Los alumnos/as podrán elaborar, al principio, argumentaciones en lenguaje coloquial. A lo largo de todo el año el docente irá propiciando el logro de niveles de argumentación cada vez más claros y formales desde el punto de vista matemático.
A partir de propuestas diseñadas por el docente los alumnos/as formularán conjeturas, elaborarán argumentaciones que las validen y realizarán la puesta en común de lo trabajado. La diversidad de ideas de los diferentes grupos hará más rico el intercambio entre ellos. Si no surgieran en el debate, el docente pondrá en consideración aquellas cuestiones que evalúe importantes para aclarar dudas o proponer caminos alternativos.
A partir de la puesta en común, el docente realizará un cierre teniendo en cuenta lo aportado por los alumnos/as y expresará esas ideas en un lenguaje más específico, con una simbolización adecuada al nivel del grupo, organizando también el registro de la tarea realizada en común en las carpetas.
En este año se retomarán algunas cuestiones estudiadas en 1º año para recordarlas y profundizarlas.
Continuando con el estudio y la clasificación de los cuerpos geométricos, se retomará el estudio de los cuerpos platónicos y se trabajará también con prismas y pirámides.
En 1º año se propuso un trabajo de construcción, manipulación y exploración de los cuerpos. Como ya se dijo, en 2º año se propondrá un trabajo de exploración que vaya dejando de lado la manipulación para ir acercándose al modo de pensar matemático.
Para lograr la formación de representaciones mentales de los conceptos geométricos, los alumnos/as necesitan participar activamente en la observación y análisis haciendo conexiones y transformaciones con los cuerpos y figuras del plano.
Cuando se retome el trabajo sobre los cuerpos regulares se incluirá el análisis de las secciones planas que se obtienen a partir de la unión de puntos de las aristas estratégicamente seleccionados.
Logros de enseñanza
• Proponer actividades en las que los alumnos/as puedan conjeturar propiedades, explorar su validez y validarlas en forma general, brindándoles herramientas para que sus argumentaciones puedan evolucionar hacia un nivel de formalidad cada vez mayor.
• Promover el trabajo autónomo de los alumnos/as permitiendo el desarrollo de mecanismos y criterios de autoevaluación de sus producciones.
• Provocar intercambios grupales interviniendo con preguntas que permitan a los alumnos /as tener en cuenta otras dimensiones involucradas en los problemas que están resolviendo así como la búsqueda de otras relaciones y propiedades.
• Organizar puestas en común de lo trabajado por los alumnos/as que permitan el intercambio entre pares.
• Retomar las expresiones de los alumnos/as para reformularlas utilizando lenguaje matemático y estableciendo lo que se ha de registrar en las carpetas.
• Proponer actividades en las que los alumnos/as deban realizar construcciones geométricas fundamentando el procedimiento que realicen.
• Promover el trabajo autónomo de los alumnos/as permitiendo el desarrollo de mecanismos y criterios de autoevaluación de sus producciones.
• Provocar intercambios grupales interviniendo con preguntas que permitan a los alumnos/as tener en cuenta otras dimensiones involucradas en los problemas que están resolviendo así como la búsqueda de otras relaciones y propiedades.
• Organizar puestas en común de lo trabajado por los alumnos/as que permitan el intercambio entre pares.
• Retomar las expresiones de los alumnos/as para reformularlas utilizando lenguaje matemático y estableciendo lo que se ha de registrar en las carpetas.
• Proponer actividades en las que los alumnos/as deban realizar mediciones, decidiendo la forma de hacerlo y la unidad adecuada a utilizar en el contexto de la situación.
• Proponer actividades de comparación de áreas de figuras con el mismo perímetro o de perímetros de figuras con la misma área así como de comparación de volúmenes de cuerpos con la misma área lateral o de áreas laterales de cuerpos con el mismo volumen.
Orientaciones para la evaluación
Al pensar las actividades de evaluación deberá tenerse en cuenta el tipo de trabajo desarrollado con los alumnos/as en el tratamiento de los contenidos del eje y los niveles de los aprendizajes logrados en el grupo, de modo que el instrumento de evaluación resulte coherente con dicha tarea.
Los desarrollos algebraicos y numéricos para el cálculo de diferentes medidas son importantes y también lo es la consideración de cuestiones como las que se deben tener en cuenta para la resolución de actividades.
Además de la importancia de la intencionalidad con la que se plantean los problemas, será necesario un estudio detallado de lo que el enunciado del problema realmente pide, ya que en una situación de prueba escrita, el alumno/a se encuentra sólo frente a los problemas por resolver.
De esta manera, se lograrán superar situaciones involuntarias de injusticia que se podrían presentar a la hora de corregir.
TEORIA
Poliedros regulares
Definición de poliedro
Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.
Tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y sus caras son polígonos regulares iguales.
Elementos de un poliedro
Caras
Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.
Aristas
Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.
Vértices
Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.
Ángulos diedros
Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común.
Ángulos poliédricos
Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común.
Diagonales
Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.
Relación de Euler
En todos los poliedros convexos se verifica siempre que:
Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2.
Tipos de poliedros
Poliedro convexo
En un poliedro convexo una recta sólo puede cortar a su superficie en dos puntos.
Poliedro cóncavo
En un poliedro cóncavo una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante.
Clasificación de poliedros regulares
Tetraedro
Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros iguales.
Tiene cuatro vértices y cuatro aristas.
Es una pirámide triangular regular.
Hexaedro o cubo
Su superficie está constituida por 6 cuadrados..
Tiene 8 vértices y 12 aristas..
Es un prisma cuadrangular regular. .
Octaedro
Su superficie consta de ocho triángulos equiláteros.
Tiene 6 vértices y 12 aristas.
Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos pirámides cuadrangulares regulares iguales.
Dodecaedro
Su superficie consta de 12 pentágonos regulares.
Tiene 20 vértices y 30 aristas.
Icosaedro
Su superficie consta de veinte triángulos equiláteros.
Tiene 12 vértices y 30 aristas.
El Teorema de Pitágoras en el espacio.
D 2 = c 2 + d 2
d 2 = a 2 + b 2
D 2 = a 2 + b 2 + c 2
Expresión vectorial del teorema de Pitágoras
(En lo que sigue designaremos en negrita las magnitudes vectoriales y las operaciones efectuadas respecto a un sistema de referencia ortonormal)
Dados dos vectores x e y la condición necesaria y suficiente para que dichos vectores sean ortogonales es que
|| x + y || 2 = || x || 2 + || y || 2
siendo la norma del vector x.
De dicha definición de la norma resulta que || x || 2 = x.x (es decir, la norma al cuadrado de un vector es el producto escalar del vector por él mismo).
Demostración
|| x + y || 2 = (x + y) (x + y) = x . x + y . y + 2 x . y = || x || 2 + || y || 2 + 2 x .y
Luego
Poliedros en la vida cotidiana
Los balones de fútbol han estado hechos siempre con 12 pentágonos y 20 hexágonos (icosaedro truncado), aunque hoy día algunos han cambiado por otra forma poliédrica más redondeada (el pequeño rombicosidodecaedro) que tiene 20 triángulos, 30 cuadrados y 12 pentágonos.
Icosaedro truncado
Número de caras : 32
Polígonos que forman las caras : 12 Pentágonos equiláteros, 20 Hexágonos Equiláteros
Número de aristas : 90
Número de vértices : 60
Tipo de Vértice : Uniforme de Orden 3
Caras relacionadas en los vértices : 2 Hexágonos, 1 Pentágono
Simetría : Icosaédrica (Ih)
Poliedro dual : Pentaquisdodecaedro
Propiedades : Poliedro convexo, de vértices uniformes
El icosaedro truncado es un sólido de Arquímedes que se obtiene truncando cada vértice de un icosaedro.
Usos :
Las pelotas de fútbol de la FIFA tuvieron esta forma durante muchísimo tiempo. Los gajos de cuero que la formaban eran hexágonos y pentágonos dispuestos en forma de icosaedro truncado. Al ser inflada la pelota tomaba la forma esférica característica
Más poliedros
En 1.996 se concedió el premio Nobel de Química a tres investigadores por el descubrimiento del fullereno (C60) cuya forma es un icosaedro truncado.
Los panales de abejas tienen forma de prismas hexagonales
El virus de la poliomelitis y de la verruga tienen forma de Icosaedro. Las células del tejido epitelial tienen forma de Cubos y Prismas.
En sus formas naturales, muchos minerales cristalizan formando poliedros característicos:
En el arte
En pintura, Salvador Dalí, utiliza el dodecaedro en un óleo para enmarcar su escena sobre la última cena (con sus 12 Apóstoles).
En arquitectura, el mausoleo de Gol Gumbaz de Bijapur (India) tiene forma de cubo, el Planetario de New York (obra de Polshek y Schliemann) es otro cubo de cristal de 29 metros de arista que contiene una esfera blanca de 27 metros de diámetro, en cuyo interior se ha representado el centro de la Tierra y el Espacio.
Escher también utilizó poliedros regulares (tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro) en sus famosos dibujos, así como Leonardo da Vinci (ucocedrón abscisus vacuus)
Definición de poliedro
Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.
Tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y sus caras son polígonos regulares iguales.
Elementos de un poliedro
Caras
Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.
Aristas
Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.
Vértices
Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.
Ángulos diedros
Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común.
Ángulos poliédricos
Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común.
Diagonales
Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.
Relación de Euler
En todos los poliedros convexos se verifica siempre que:
Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2.
Tipos de poliedros
Poliedro convexo
En un poliedro convexo una recta sólo puede cortar a su superficie en dos puntos.
Poliedro cóncavo
En un poliedro cóncavo una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante.
Clasificación de poliedros regulares
Tetraedro
Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros iguales.
Tiene cuatro vértices y cuatro aristas.
Es una pirámide triangular regular.
Hexaedro o cubo
Su superficie está constituida por 6 cuadrados..
Tiene 8 vértices y 12 aristas..
Es un prisma cuadrangular regular. .
Octaedro
Su superficie consta de ocho triángulos equiláteros.
Tiene 6 vértices y 12 aristas.
Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos pirámides cuadrangulares regulares iguales.
Dodecaedro
Su superficie consta de 12 pentágonos regulares.
Tiene 20 vértices y 30 aristas.
Icosaedro
Su superficie consta de veinte triángulos equiláteros.
Tiene 12 vértices y 30 aristas.
El Teorema de Pitágoras en el espacio.
D 2 = c 2 + d 2
d 2 = a 2 + b 2
D 2 = a 2 + b 2 + c 2
Expresión vectorial del teorema de Pitágoras
(En lo que sigue designaremos en negrita las magnitudes vectoriales y las operaciones efectuadas respecto a un sistema de referencia ortonormal)
Dados dos vectores x e y la condición necesaria y suficiente para que dichos vectores sean ortogonales es que
|| x + y || 2 = || x || 2 + || y || 2
siendo la norma del vector x.
De dicha definición de la norma resulta que || x || 2 = x.x (es decir, la norma al cuadrado de un vector es el producto escalar del vector por él mismo).
Demostración
|| x + y || 2 = (x + y) (x + y) = x . x + y . y + 2 x . y = || x || 2 + || y || 2 + 2 x .y
Luego
Poliedros en la vida cotidiana
Los balones de fútbol han estado hechos siempre con 12 pentágonos y 20 hexágonos (icosaedro truncado), aunque hoy día algunos han cambiado por otra forma poliédrica más redondeada (el pequeño rombicosidodecaedro) que tiene 20 triángulos, 30 cuadrados y 12 pentágonos.
Icosaedro truncado
Número de caras : 32
Polígonos que forman las caras : 12 Pentágonos equiláteros, 20 Hexágonos Equiláteros
Número de aristas : 90
Número de vértices : 60
Tipo de Vértice : Uniforme de Orden 3
Caras relacionadas en los vértices : 2 Hexágonos, 1 Pentágono
Simetría : Icosaédrica (Ih)
Poliedro dual : Pentaquisdodecaedro
Propiedades : Poliedro convexo, de vértices uniformes
El icosaedro truncado es un sólido de Arquímedes que se obtiene truncando cada vértice de un icosaedro.
Usos :
Las pelotas de fútbol de la FIFA tuvieron esta forma durante muchísimo tiempo. Los gajos de cuero que la formaban eran hexágonos y pentágonos dispuestos en forma de icosaedro truncado. Al ser inflada la pelota tomaba la forma esférica característica
Más poliedros
En 1.996 se concedió el premio Nobel de Química a tres investigadores por el descubrimiento del fullereno (C60) cuya forma es un icosaedro truncado.
Los panales de abejas tienen forma de prismas hexagonales
El virus de la poliomelitis y de la verruga tienen forma de Icosaedro. Las células del tejido epitelial tienen forma de Cubos y Prismas.
En sus formas naturales, muchos minerales cristalizan formando poliedros característicos:
En el arte
En pintura, Salvador Dalí, utiliza el dodecaedro en un óleo para enmarcar su escena sobre la última cena (con sus 12 Apóstoles).
En arquitectura, el mausoleo de Gol Gumbaz de Bijapur (India) tiene forma de cubo, el Planetario de New York (obra de Polshek y Schliemann) es otro cubo de cristal de 29 metros de arista que contiene una esfera blanca de 27 metros de diámetro, en cuyo interior se ha representado el centro de la Tierra y el Espacio.
Escher también utilizó poliedros regulares (tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro) en sus famosos dibujos, así como Leonardo da Vinci (ucocedrón abscisus vacuus)
ACTIVIDAD EN CLASE
Actividad en clase
En este trabajo nos interesaremos en la construcción y análisis de la estructura de los poliedros. Por este motivo nos centraremos en el uso de sorbetes que nos servirán de aristas; y los fuelles de los mismos serán los vértices de los poliedros.
Tareas
Primera Fase
En una primera fase proponemos que los estudiantes se familiaricen con el material construyendo diversos polígonos, para a continuación comenzar con la construcción de poliedros con un solo tipo de polígonos (regulares). Consideraremos como poliedro regular aquel cuyas caras son todos polígonos regulares iguales, y todos sus diedros y ángulos poliedros también son iguales. Para que estas condiciones se cumplan, el poliedro tiene que ser convexo, puesto que en los cóncavos los ángulos diedros no son todos iguales.
Dos propuestas que se pueden plantear al alumno en este momento son las siguientes:
1) ¿Es posible construir poliedros cuyas caras sean hexágonos? Aquí el alumno percibirá la imposibilidad de “levantar” una figura con hexágonos.
2) “Platón afirmaba que sólo existen cinco poliedros regulares, esto es, los poliedros formados por polígonos regulares del mismo tipo y concurriendo el mismo número de ellos en cada vértice.” ¿Es cierta esta afirmación? Esta cuestión les permitirá discutir sobre la validez de los poliedros regulares construidos para así conseguir tener solo cinco.
Una vez que se han construido los cinco poliedros regulares será el turno de su análisis y descripción. ¿Cuántas caras tiene cada uno?, ¿y aristas y vértices? ¿Qué polígonos forman sus caras? Estas serán algunas de las preguntas a realizar a los estudiantes.
Toda esta información podría ser recogida por los alumnos en una tabla que ellos mismos deberán rellenar (Tabla 1).
A continuación se les sugerirá la búsqueda de una relación numérica entre caras, vértices y aristas con la intención de que conozcan el Teorema de Euler.
Otros de los elementos que pueden estudiarse son: ¿Qué ángulos se forman en el poliedro? ¿Qué podemos decir acerca de la rigidez de la figura?
3) ¿Cuántos poliedros regulares se pueden construir ?
Para mostrar por qué son cinco —y no más— se suele razonar del modo siguiente:
(1) Cada vértice debe ser común por lo menos a tres caras para que se forme un sólido. (Si fuera común a dos, las caras estarían pegadas y no tendríamos un sólido.)
(2) La suma de los ángulos interiores de las caras que se encuentran en cada vértice debe ser menor que 360°, de manera que la figura se cierre, que no sea plana.
(3) Dado que cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°, tomando en cuenta lo señalado en los puntos (1) y (2), en un vértice podrían concurrir tres, cuatro o cinco de ellos. Ésos son los casos del tetraedro, el octaedro y el icosaedro, respectivamente. Cada ángulo interior de un cuadrado mide 90°, de modo que sólo podemos hacer coincidir tres de ellos en cada vértice. Ése es el caso del cubo. Los ángulos interiores del pentágono regular miden 108°. Poniendo tres de ellos en cada vértice se obtiene un dodecaedro. Con los polígonos siguientes ya no es posible formar poliedros regulares: los ángulos interiores de una hexágono miden 120° y no es posible poner tres juntos sin llegar al límite de 360°; los ángulos interiores de los siguientes son aun mayores.
En este trabajo nos interesaremos en la construcción y análisis de la estructura de los poliedros. Por este motivo nos centraremos en el uso de sorbetes que nos servirán de aristas; y los fuelles de los mismos serán los vértices de los poliedros.
Tareas
Primera Fase
En una primera fase proponemos que los estudiantes se familiaricen con el material construyendo diversos polígonos, para a continuación comenzar con la construcción de poliedros con un solo tipo de polígonos (regulares). Consideraremos como poliedro regular aquel cuyas caras son todos polígonos regulares iguales, y todos sus diedros y ángulos poliedros también son iguales. Para que estas condiciones se cumplan, el poliedro tiene que ser convexo, puesto que en los cóncavos los ángulos diedros no son todos iguales.
Dos propuestas que se pueden plantear al alumno en este momento son las siguientes:
1) ¿Es posible construir poliedros cuyas caras sean hexágonos? Aquí el alumno percibirá la imposibilidad de “levantar” una figura con hexágonos.
2) “Platón afirmaba que sólo existen cinco poliedros regulares, esto es, los poliedros formados por polígonos regulares del mismo tipo y concurriendo el mismo número de ellos en cada vértice.” ¿Es cierta esta afirmación? Esta cuestión les permitirá discutir sobre la validez de los poliedros regulares construidos para así conseguir tener solo cinco.
Una vez que se han construido los cinco poliedros regulares será el turno de su análisis y descripción. ¿Cuántas caras tiene cada uno?, ¿y aristas y vértices? ¿Qué polígonos forman sus caras? Estas serán algunas de las preguntas a realizar a los estudiantes.
Toda esta información podría ser recogida por los alumnos en una tabla que ellos mismos deberán rellenar (Tabla 1).
A continuación se les sugerirá la búsqueda de una relación numérica entre caras, vértices y aristas con la intención de que conozcan el Teorema de Euler.
Otros de los elementos que pueden estudiarse son: ¿Qué ángulos se forman en el poliedro? ¿Qué podemos decir acerca de la rigidez de la figura?
3) ¿Cuántos poliedros regulares se pueden construir ?
Para mostrar por qué son cinco —y no más— se suele razonar del modo siguiente:
(1) Cada vértice debe ser común por lo menos a tres caras para que se forme un sólido. (Si fuera común a dos, las caras estarían pegadas y no tendríamos un sólido.)
(2) La suma de los ángulos interiores de las caras que se encuentran en cada vértice debe ser menor que 360°, de manera que la figura se cierre, que no sea plana.
(3) Dado que cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°, tomando en cuenta lo señalado en los puntos (1) y (2), en un vértice podrían concurrir tres, cuatro o cinco de ellos. Ésos son los casos del tetraedro, el octaedro y el icosaedro, respectivamente. Cada ángulo interior de un cuadrado mide 90°, de modo que sólo podemos hacer coincidir tres de ellos en cada vértice. Ése es el caso del cubo. Los ángulos interiores del pentágono regular miden 108°. Poniendo tres de ellos en cada vértice se obtiene un dodecaedro. Con los polígonos siguientes ya no es posible formar poliedros regulares: los ángulos interiores de una hexágono miden 120° y no es posible poner tres juntos sin llegar al límite de 360°; los ángulos interiores de los siguientes son aun mayores.
PROBLEMAS
Ejemplo 1:
En el gráfico siguiente se representan secciones planas de un cubo. Se podrá pedir a los alumnos/as que analicen las propiedades de los triángulos que determina la sección del cubo y describan los cuerpos que quedan determinados.
Se pondrá en cuestión si el cuerpo formado por cuatro triángulos es o no tetraedro regular y por qué.
Ejemplo 2:
La sección plana del cubo que contiene a los puntos medios de sus aristas que se representa a continuación permite realizar un interesante trabajo con el hexágono regular que se obtiene. Por ejemplo puede plantearse la necesidad de aplicar el teorema de Pitágoras para la obtención del perímetro del hexágono. El docente decidirá si se tratará posteriormente o podrá dar lugar a su tratamiento en el momento que se plantee esta actividad.
Ejemplo 3:
Dado un cubo, analizar el cuerpo que tiene por aristas a las diagonales de las caras.
Las secciones que determinan las diagonales de las caras son cuatro triángulos equiláteros que forman un tetraedro en el centro del cubo, dejando libres cuatro pirámides cuya base es un triángulo equilátero y las otras caras triángulos rectángulos.
Ejemplo 4:
El siguiente ejemplo ilustra otro interesante estudio de secciones del cubo:
El análisis propuesto en el ejemplo anterior puede enriquecerse, en este caso, mediante la verificación de que la relación de Euler, ya trabajada en 1º año:
nº de caras + nº de vértices – nº de aristas = 2
es válida en los cuerpos que se obtienen mediante la sección plana de otro.
Ejemplo 5:
Finalmente los alumnos/as podrán realizar un estudio autónomo de problemas como el siguiente:
Marcar los puntos medios de tres aristas que concurren en un vértice y analizar la sección que determinan, estudiar las caras y aristas de los cuerpos que se obtienen mediante esta sección.
En el gráfico siguiente se representan secciones planas de un cubo. Se podrá pedir a los alumnos/as que analicen las propiedades de los triángulos que determina la sección del cubo y describan los cuerpos que quedan determinados.
Se pondrá en cuestión si el cuerpo formado por cuatro triángulos es o no tetraedro regular y por qué.
Ejemplo 2:
La sección plana del cubo que contiene a los puntos medios de sus aristas que se representa a continuación permite realizar un interesante trabajo con el hexágono regular que se obtiene. Por ejemplo puede plantearse la necesidad de aplicar el teorema de Pitágoras para la obtención del perímetro del hexágono. El docente decidirá si se tratará posteriormente o podrá dar lugar a su tratamiento en el momento que se plantee esta actividad.
Ejemplo 3:
Dado un cubo, analizar el cuerpo que tiene por aristas a las diagonales de las caras.
Las secciones que determinan las diagonales de las caras son cuatro triángulos equiláteros que forman un tetraedro en el centro del cubo, dejando libres cuatro pirámides cuya base es un triángulo equilátero y las otras caras triángulos rectángulos.
Ejemplo 4:
El siguiente ejemplo ilustra otro interesante estudio de secciones del cubo:
El análisis propuesto en el ejemplo anterior puede enriquecerse, en este caso, mediante la verificación de que la relación de Euler, ya trabajada en 1º año:
nº de caras + nº de vértices – nº de aristas = 2
es válida en los cuerpos que se obtienen mediante la sección plana de otro.
Ejemplo 5:
Finalmente los alumnos/as podrán realizar un estudio autónomo de problemas como el siguiente:
Marcar los puntos medios de tres aristas que concurren en un vértice y analizar la sección que determinan, estudiar las caras y aristas de los cuerpos que se obtienen mediante esta sección.
martes, 29 de junio de 2010
Suscribirse a:
Entradas (Atom)
