ACTIVIDAD EN CLASE

Actividad en clase

En este trabajo nos interesaremos en la construcción y análisis de la estructura de los poliedros. Por este motivo nos centraremos en el uso de sorbetes que nos servirán de aristas; y los fuelles de los mismos serán los vértices de los poliedros.

Tareas
Primera Fase
En una primera fase proponemos que los estudiantes se familiaricen con el material construyendo diversos polígonos, para a continuación comenzar con la construcción de poliedros con un solo tipo de polígonos (regulares). Consideraremos como poliedro regular aquel cuyas caras son todos polígonos regulares iguales, y todos sus diedros y ángulos poliedros también son iguales. Para que estas condiciones se cumplan, el poliedro tiene que ser convexo, puesto que en los cóncavos los ángulos diedros no son todos iguales.
Dos propuestas que se pueden plantear al alumno en este momento son las siguientes:
1) ¿Es posible construir poliedros cuyas caras sean hexágonos? Aquí el alumno percibirá la imposibilidad de “levantar” una figura con hexágonos.
2) “Platón afirmaba que sólo existen cinco poliedros regulares, esto es, los poliedros formados por polígonos regulares del mismo tipo y concurriendo el mismo número de ellos en cada vértice.” ¿Es cierta esta afirmación? Esta cuestión les permitirá discutir sobre la validez de los poliedros regulares construidos para así conseguir tener solo cinco.
Una vez que se han construido los cinco poliedros regulares será el turno de su análisis y descripción. ¿Cuántas caras tiene cada uno?, ¿y aristas y vértices? ¿Qué polígonos forman sus caras? Estas serán algunas de las preguntas a realizar a los estudiantes.
Toda esta información podría ser recogida por los alumnos en una tabla que ellos mismos deberán rellenar (Tabla 1).
A continuación se les sugerirá la búsqueda de una relación numérica entre caras, vértices y aristas con la intención de que conozcan el Teorema de Euler.
Otros de los elementos que pueden estudiarse son: ¿Qué ángulos se forman en el poliedro? ¿Qué podemos decir acerca de la rigidez de la figura?


3) ¿Cuántos poliedros regulares se pueden construir ?

Para mostrar por qué son cinco —y no más— se suele razonar del modo siguiente:
(1) Cada vértice debe ser común por lo menos a tres caras para que se forme un sólido. (Si fuera común a dos, las caras estarían pegadas y no tendríamos un sólido.)
(2) La suma de los ángulos interiores de las caras que se encuentran en cada vértice debe ser menor que 360°, de manera que la figura se cierre, que no sea plana.
(3) Dado que cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°, tomando en cuenta lo señalado en los puntos (1) y (2), en un vértice podrían concurrir tres, cuatro o cinco de ellos. Ésos son los casos del tetraedro, el octaedro y el icosaedro, respectivamente. Cada ángulo interior de un cuadrado mide 90°, de modo que sólo podemos hacer coincidir tres de ellos en cada vértice. Ése es el caso del cubo. Los ángulos interiores del pentágono regular miden 108°. Poniendo tres de ellos en cada vértice se obtiene un dodecaedro. Con los polígonos siguientes ya no es posible formar poliedros regulares: los ángulos interiores de una hexágono miden 120° y no es posible poner tres juntos sin llegar al límite de 360°; los ángulos interiores de los siguientes son aun mayores.