TEORIA

Poliedros regulares

Definición de poliedro
Un poliedro es la región del espacio limitada por polígonos.
Tiene todos sus ángulos diedros y todos sus ángulos poliedros iguales y sus caras son polígonos regulares iguales.

Elementos de un poliedro














Caras
Las caras de un poliedro son cada uno de los polígonos que limitan al poliedro.

Aristas
Las aristas de un poliedro son los lados de las caras del poliedro. Dos caras tienen una arista en común.

Vértices
Los vértices de un poliedro son los vértices de cada una de las caras del poliedro. Tres caras coinciden en un mismo vértice.


Ángulos diedros
Los ángulos diedros están formados por cada dos caras y tienen una arista en común.

Ángulos poliédricos
Los ángulos poliédricos están formados por tres o más caras del poliedro y tienen un vértice común.

Diagonales
Las diagonales de un poliedro son los segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

Relación de Euler
En todos los poliedros convexos se verifica siempre que:
Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2.

Tipos de poliedros
Poliedro convexo






En un poliedro convexo una recta sólo puede cortar a su superficie en dos puntos.




Poliedro cóncavo







En un poliedro cóncavo una recta puede cortar su superficie en más de dos puntos, por lo que posee algún ángulo diedro entrante.



Clasificación de poliedros regulares
Tetraedro











Su superficie está formada por 4 triángulos equiláteros iguales.
Tiene cuatro vértices y cuatro aristas.
Es una pirámide triangular regular.

Hexaedro o cubo









Su superficie está constituida por 6 cuadrados..
Tiene 8 vértices y 12 aristas..
Es un prisma cuadrangular regular. .

Octaedro









Su superficie consta de ocho triángulos equiláteros.
Tiene 6 vértices y 12 aristas.
Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos pirámides cuadrangulares regulares iguales.

Dodecaedro










Su superficie consta de 12 pentágonos regulares.
Tiene 20 vértices y 30 aristas.

Icosaedro








Su superficie consta de veinte triángulos equiláteros.
Tiene 12 vértices y 30 aristas.


El Teorema de Pitágoras en el espacio.



D 2 = c 2 + d 2
d 2 = a 2 + b 2
D 2 = a 2 + b 2 + c 2











Expresión vectorial del teorema de Pitágoras

(En lo que sigue designaremos en negrita las magnitudes vectoriales y las operaciones efectuadas respecto a un sistema de referencia ortonormal)
Dados dos vectores x e y la condición necesaria y suficiente para que dichos vectores sean ortogonales es que
|| x + y || 2 = || x || 2 + || y || 2

siendo la norma del vector x.
De dicha definición de la norma resulta que || x || 2 = x.x (es decir, la norma al cuadrado de un vector es el producto escalar del vector por él mismo).
Demostración
|| x + y || 2 = (x + y) (x + y) = x . x + y . y + 2 x . y = || x || 2 + || y || 2 + 2 x .y
Luego






Poliedros en la vida cotidiana

Los balones de fútbol han estado hechos siempre con 12 pentágonos y 20 hexágonos (icosaedro truncado), aunque hoy día algunos han cambiado por otra forma poliédrica más redondeada (el pequeño rombicosidodecaedro) que tiene 20 triángulos, 30 cuadrados y 12 pentágonos.







Icosaedro truncado













Número de caras : 32
Polígonos que forman las caras : 12 Pentágonos equiláteros, 20 Hexágonos Equiláteros
Número de aristas : 90
Número de vértices : 60
Tipo de Vértice : Uniforme de Orden 3
Caras relacionadas en los vértices : 2 Hexágonos, 1 Pentágono
Simetría : Icosaédrica (Ih)
Poliedro dual : Pentaquisdodecaedro
Propiedades : Poliedro convexo, de vértices uniformes
El icosaedro truncado es un sólido de Arquímedes que se obtiene truncando cada vértice de un icosaedro.
Usos :
Las pelotas de fútbol de la FIFA tuvieron esta forma durante muchísimo tiempo. Los gajos de cuero que la formaban eran hexágonos y pentágonos dispuestos en forma de icosaedro truncado. Al ser inflada la pelota tomaba la forma esférica característica

Más poliedros


En 1.996 se concedió el premio Nobel de Química a tres investigadores por el descubrimiento del fullereno (C60) cuya forma es un icosaedro truncado.




Los panales de abejas tienen forma de prismas hexagonales



El virus de la poliomelitis y de la verruga tienen forma de Icosaedro. Las células del tejido epitelial tienen forma de Cubos y Prismas.
En sus formas naturales, muchos minerales cristalizan formando poliedros característicos:






En el arte

En pintura, Salvador Dalí, utiliza el dodecaedro en un óleo para enmarcar su escena sobre la última cena (con sus 12 Apóstoles).















En arquitectura, el mausoleo de Gol Gumbaz de Bijapur (India) tiene forma de cubo, el Planetario de New York (obra de Polshek y Schliemann) es otro cubo de cristal de 29 metros de arista que contiene una esfera blanca de 27 metros de diámetro, en cuyo interior se ha representado el centro de la Tierra y el Espacio.








Escher también utilizó poliedros regulares (tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro) en sus famosos dibujos, así como Leonardo da Vinci (ucocedrón abscisus vacuus)